اثبات قضیه کمان و وتر + محاسبه آن‌ها در دایره با مثال‌های مختلف (رایگان)

هنگامی که دو نقطه روی محیط یک دایره در نظر گرفته شود، می‌توان گفت یک منحنی داریم که به این دو نقطه محدود شده است. این منحنی محدود به دو نقطه روی محیط دایره، کمان نامیده می‌شود. هر یک از زوایای مرکزی در دایره می‌تواند یک کمان متناظر با آن زاویه داشته باشد. اندازه کمان متناظر هر زاویه مرکزی در دایره برابر با زاویه مقابل آن است. منظور از وتر، پاره‌خطی است که دو نقطه روی محیط یک دایره را به هم وصل می‌کند. در واقع، می‌توان گفت که قطر دایره، وتری است که از مرکز دایره عبور می‌کند و دو نقطه روی محیط دایره را به هم متصل می‌کند؛ به عبارتی دیگر، قطر بلندترین وتر دایره است. در یک دایره، هنگامی که دو کمان مساوی داشته باشیم، وترهای متناظر این دو کمان نیز با هم برابر هستند. به این قضیه، قضیه کمان و وتر گفته می‌شود. عکس این قضیه نیز برقرار است؛ یعنی زمانی که دو وتر مساوی در یک دایره داشته باشیم، کمان‌های متناظر این دو وتر نیز با هم برابر خواهند بود. برای اثبات قضیه کمان و وتر، ابتدا شعاع‌های دایره را رسم می‌کنیم. فرض می‌کنیم دایره‌ای به مرکز O داریم. با اتصال شعاع‌های دایره به نقاط انتهایی وترهای AB و PQ و با فرض برابری وترهای AB و PQ، ثابت می‌کنیم که کمان‌های AB و PQ نیز با یکدیگر برابر هستند. در نهایت، با اثبات هم‌نهشتی دو مثلث قائم‌الزاویه AOB و POQ به روش سه‌ضلع معلوم (ض ض ض)، نشان می‌دهیم که در صورت برابری کمان‌های دایره، وترهای متناظر آن‌ها نیز برابر خواهند بود. با استفاده از نتایج به‌دست‌آمده، در نهایت قضیه کمان و وتر را ثابت می‌کنیم. از این قضیه برای حل مسائل مختلف، به‌ویژه محاسبه کمان‌ها و وترها در دایره، استفاده می‌شود. در این آموزش، برای درک کامل مباحث و موارد مربوطه، قصد داریم با قضیه کمان و وتر در دایره و نحوه اثبات آن آشنا شویم. بنابراین، ابتدا مفهوم کمان و وتر در دایره را بیان می‌کنیم، سپس به قضیه کمان و وتر در دایره اشاره کرده و نحوه اثبات آن را توضیح می‌دهیم. در نهایت، با ذکر مثالی کاربردی، نحوه محاسبه کمان‌ها و وترها در یک دایره را طبق قضیه کمان و وتر بررسی خواهیم کرد.

فرادرس

ساره شفیعی