آموزش فرایندهای تصادفی یا اتفاقی Stochastic Processes
13 ساعت
3.3
فرایند تصادفی یکی از موضوعات اصلی یا در واقع یکی از مهم ترین و عمده ترین سرفصل درس آنالیز یا حسابان تصادفی می باشد. هدف این آموزش ارائه موجز حسابان تصادفی با برخی از کاربردهای آن در علوم پایه، مهندسی و مالی است. در ۲۰ سال اخیر، تقاضاهای زیادی برای استفاده از ابزار و روش های حسابان تصادفی در رشته های مختلف وجود داشته است. یکی ازین تقاضاها، در زمینه ریاضیات مالی بوده است؛ جایی که از فرایندهای تصادفی (حسابان تصادفی) برای قیمت گذاری و مصون سازی (هیجینگ) مشتقات مالی از جمله حق اختیار، استفاده می شود. در علوم مهندسی، از فرایندهای تصادفی برای فیلترینگ و نظریه کنترل استفاده می شود و در علم فیزیک در مطالعه تأثیرات برانگیختگی های تصادفی روی پدیده های فیزیکی مختلف کاربرد دارد. در بیولوژی از فرایندهای تصادفی برای مدل سازی تأثیرات متغیرهای تصادفی در تولید مثل و محیط زیست بر روی جمعیت کاربرد دارد. از دیدگاه کاربردی، شاید بتوان حسابان تصادفی را به طور جداگانه یک شاخه از ریاضیات در نظر گرفت که حوزه تمرکز آن توابع مشتق ناپذیر روی دیفرانسیل (بازه تغییرات) بی نهایت کوچک است. چنین ضرورتی برخاسته از نیاز به گنجاندن یک عامل غیرقابل پیش بینی در مدل سازی است و این همان جایی است که بحث احتمال مطرح می شود و نتیجه آن معادله دیفرانسیلی است با توابع یا متغیرهای تصادفی. این آموزش بر اساس نظریه توابع و احتمال و همچنین توسعه نظریه مارتینگل ارائه شده است، که نظریه بسیار تخصصی است. این آموزش بر آن است که دانشجو را به صورت گام به گام از مفاهیم ساده و پایه به مباحث پیچیده برساند. از همین رو، حاوی مثال های حل شده بسیاری است و اثبات ها ساده ارائه شده اند، اما تکنیک های اثبات با استدلال های اکتشافی به متون کامل تر دیگر ارجاع داده و جایگزین شده اند. بدین ترتیب دانشجو می تواند سریع تر به نتایج پیشرفته برسد. این نتایج در موارد کاربردی مورد نیاز هستند. به عنوان مثال، در قیمت گذاری حق اختیار، نیازمند تغییر روش اندازه گیری در هستیم؛ یا در پالایش نیازمند محاسبات امید شرطی با توجه به یک پالایه جدید هستیم. پس مشخص می شود ریشه حل مسائل کاربردی کاملاً نامرتبط در همان نتایج ریاضیاتی است. به عنوان مثال مسأله قیمت گذاری یک حق اختیار و مسأله پالایش بهینه یک نویز سیگنال، هر دو بر اساس ویژگی های نمایش مارتینگل در حرکت برونی حل می شوند.
