اثبات قضیه نامساوی مثلث + مثال‌های کاربردی (فیلم آموزش رایگان)

قضیه نامساوی مثلث یکی از قضیه‌هایی است که در ریاضی برای حل مسائل مختلف از آن استفاده می‌کنند. مطابق با قضیه نامساوی مثلث، در هر مثلث مجموع اندازه‌های دو ضلع آن، برابر با اندازه ضلع سوم مثلث است. چنانچه فرض کنیم مثلثی به نام ABC داشته باشیم، در این حالت می‌توانیم به این نتیجه برسیم که مجموع اندازه دو ضلع AC و AB مثلث بزرگتر از اندازه ضلع سوم مثلث یعنی ضلع BC است. برای اثبات این قضیه در ابتدا نیمساز زاویه A مثلث را رسم می‌کنیم. به گونه‌ای که این نیمساز ضلع BC را در نقطه D قطع می‌کند. در این حالت زاویه A به دو زاویه مساوی A1 و A2 تقسیم می‌شود. اگر مثلث ABD تشکیل شده را در نظر بگیریم، زاویه D2 به عنوان زاویه خارجی این مثلث در نظر گرفته می‌شود. با توجه به اینکه اندازه هر زاویه خارجی یک مثلث از اندازه زاویه‌های غیر مجاور آن است، بنابراین اندازه زاویه D2 که زاویه خارجی مثلث ABD است، بزرگتر از اندازه زاویه A1 است. زاویه A1 زاویه غیرمجاور D2 است. با توجه به اینکه اندازه دو زاویه A1 و A2 با یکدیگر برابر است، پس می‌توان به این نتیجه رسید که اندازه زاویه D2 بزرگتر از زاویه A2 خواهد بود. مطابق با قضیه زاویه برتر می‌توانیم به این نتیجه برسیم که ضلع رو‌به‌رو به زاویه D2 یعنی ضلع AC نیز از ضلع رو‌به‌رو به زاویه A2 یعنی ضلع DC بزرگتر است. علاوه بر این، اگر مثلث ADC را در نظر بگیریم، در این حالت زاویه D1، به عنوان زاویه خارجی این مثلث در نظر گرفته می‌شود. بنابراین اندازه زاویه D1 که زاویه خارجی مثلث ADC است، بزرگتر از اندازه زاویه A2 است. زاویه A2 نیز زاویه غیرمجاور زاویه D1 است. با توجه به اینکه اندازه دو زاویه A1 و A2 با یکدیگر برابر است، پس می‌توان به این نتیجه رسید که اندازه زاویه D1 بزرگتر از زاویه A1 است. مطابق با قضیه زاویه برتر می‌توانیم به این نتیجه برسیم که ضلع رو به رو به زاویه D1 یعنی ضلع AB نیز از ضلع رو به رو به زاویه A1 یعنی ضلع BD بزرگتر است. بنابراین با جمع روابط به دست آمده به این نتیجه می رسیم که مجموع ضلع‌های AC و AB مثلث بزرگتر از مجموع ضلع‌های DC و BD مثلث است. از طرفی با توجه به اینکه مجموع پاره‌خط‌های DC و BD مثلث برابر با ضلع BC مثلث است، می‌توانیم به این نتیجه برسیم که مجموع اندازه‌های اضلاع AC و AB مثلث، بزرگتر از اندازه ضلع BC مثلث است. با استفاده از قضیه نامساوی مثلث می‌توانیم مسائل مختلف در این زمینه را حل کنیم و اندازه ضلع‌ها و زاویه‌های یک مثلث را به دست آوریم. در آین آموزش برای درک کامل مباحث و موضوعات مربوطه می‌خواهیم با همدیگر با قضیه نامساوی مثلث و نحوه اثبات آن آشنا شویم. بنابراین در ابتدا قضیه نامساوی مثلث و روابطه مربوطه را معرفی می‌کنیم. سپس به نحوه اثبات قضیه نامساوی مثلث خواهیم پرداخت و در نهایت، با ذکر مثال کاربردی، نحوه استفاده از قضیه نامساوی مثلث در حل مسائل مختلف را مورد تحلیل و بررسی قرار می‌دهیم.

فرادرس

ساره شفیعی